Ein Problem, das schon die Babylonier hatten und lösten

Die Babylonier (Hochkultur um 3000 - 500 v. Chr.) arbeiteten nicht geometrisch, wie später die Griechen, sondern hauptsächlich arithmetisch. Sie hatten bereits ein Stellenwertsystem benutzt, das sich bis zu unserem Zehnersystem weiterentwickelte. Bei den Babyloniern handelt es sich jedoch um ein 60er-System, denn man findet Zahlenzeichen für die Zahlen 1 bis 9, 10, 20, 30, 40 und 50. Für die Zahl 60 wurde das Zeichen der 1 verwendet. (Vgl. rechte Tafel)

Um den Umgang mit dieser Zahlendarstellung zu begreifen, ein Beispiel: Die Zahl 346 ist in unserem System die Summe von 3 Hunderten, 4 Zehnern und 6 Einern. Bei den Babyloniern ist es die Summe von 5 60ern und 46 und wurde so dargestellt

Eine solche babylonische Zahlendarstellung fand man auch auf dieser Steintafel, die eindeutig ein Quadrat mit seinen Diagonalen erkennen lässt. Neben einer dieser Diagonalen findet man die babylonische Zahl

Übersetzt sind hier die Zahlen 1, 24, 51 und 10 aufgeschrieben. Man kann davon ausgehen, dass hiermit die Länge der Diagonale gemeint ist.

Welche Zahl haben sie an die Diagonale geschrieben ?

Wir können das Problem etwas „modernisieren“:

Betrachte diesen Kachelboden. Jede quadratische Kachel entspricht der babylonischen Steintafel. Die Kacheln sind 1m lang und m breit.

Um herauszufinden, wie lang die Diagonale einer Kachel ist (wie bei der babylonischen Tafel), gehen wir schrittweise vor:

(1) Wie groß ist die Gesamtfläche ? Drücke diese Fläche durch a und b aus.

(2) a und b lassen sich als Vielfache von d schreiben. Wie ?

(3) Benutze (2), um eine Gleichung zur Berechnung der Diagonalen d zu erhalten.

(4) Erkläre die Gleichung geometrisch.